Формула на последователността на Фибоначи: Как да намерим числата на Фибоначи

Последователността на Фибоначи е модел от числа, който се появява отново в природата.

Преминаване към раздел

• Каква е последователността на Фибоначи?
• Произходът на последователността на Фибоначи
• Формула на числото на Фибоначи
• Последователност на Фибоначи и златното сечение
• Последователност на Фибоначи в природата
• Научете повече
• Научете повече за MasterClass на Нийл деГрас Тайсън

Известният астрофизик Нийл деГрас Тайсън ви учи как да намирате обективни истини и споделя своите инструменти за предаване на това, което откривате.

Каква е последователността на Фибоначи?

Последователността на Фибоначи е една от най-известните формули в теорията на числата и една от най-простите целочислени последователности, дефинирани от линейна рекурентна връзка. В последователността на числата на Фибоначи всяко число в последователността е сумата от двете числа преди нея, като 0 и 1 са първите две числа. Поредицата от числа на Фибоначи започва по следния начин: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и т.н. Последователността на Фибоначи е полезна за приложенията му в напредналата математика и статистика, компютърни науки, икономика и природа.

най-добрият език за програмиране за изучаване за разработка на игри

Произходът на последователността на Фибоначи

Последователността на Фибоначи се появява за първи път в древни санскритски текстове още през 200 г. пр. Н. Е., Но последователността не е широко известна на западния свят до 1202 г., когато италианският математик Леонардо Пизано Боголо я публикува в своята книга за изчисления, наречена Liber Abaci . Леонардо също е преминал под името Леонардо от Пиза, но едва през 1838 г. историците му дават прякора Фибоначи (грубо в превод на „син на Боначи“). В допълнение към популяризирането на последователността на Фибоначи, книгата на Фибоначи Liber Abaci се застъпва за използването на индуистко-арабски цифри (1, 2, 3, 4 и др.) и спомага за замяната на римската цифрова система (I, II, III, IV и др.) в цяла Европа.

В Liber Abaci , последователността на Фибоначи всъщност беше използвана за отговор на хипотетичен математически проблем, включващ растеж на популацията на зайци: Ако една двойка зайци се чифтосват в края на всеки месец, тогава раждайте нова двойка зайци един месец след сдвояването им и всички нови двойки зайци следват същия модел, колко двойки или зайци ще съществуват за една година? Ето как бихте започнали да отговаряте на този проблем:

• Започни с 1 чифт зайци.
• В края на първия месец все още има само 1 чифт зайци, тъй като са се чифтосали, но все още не са родили.
• В края на втория месец има две двойки зайци, тъй като първата двойка е родила втора двойка.
• В края на третия месец има 3 двойки зайци. Това е така, защото първата двойка е родила трета двойка, но втората двойка се е сключила само.
• В края на четвъртия месец сега има 5 двойки зайци. Това е така, защото първата двойка роди друга двойка, а втората двойка роди първата си двойка.

Както можете да видите, този 1, 1, 2, 3, 5 модел следва последователността на Фибоначи. Ако продължите 12 месеца, броят на двойките ще бъде равен на 144.

Формула на числото на Фибоначи

За да изчислите всяко следващо число на Фибоначи от поредицата на Фибоначи, използвайте формулата

където 𝐹 е петото число на Фибоначи в последователността, а първите две числа, 𝐹0 и 𝐹1, са зададени съответно на 0 и 1.

Единственият проблем с тази формула е, че това е рекурсивна формула, което означава, че дефинира всеки номер на последователността, използвайки предходните числа. Така че, ако искате да изчислите десетото число в последователността на Фибоначи, ще трябва първо да изчислите деветото и осмото, но за да получите деветото число, ще ви трябва осмото и седмото и т.н.

За да намерите произволно число в последователността на Фибоначи без някое от предходните числа, можете да използвате израз от затворена форма, наречен формула на Бине:

Във формулата на Бине гръцката буква phi (φ) представлява ирационално число, наречено златно съотношение: (1 + √ 5) / 2, което закръглено до най-близките хилядни места е равно на 1,618.

Последователност на Фибоначи и златното сечение

Златното съотношение (или златното сечение) е ирационално число, което се получава, когато съотношението на две числа е същото като съотношението на тяхната сума към по-голямото от двете числа. Последователността на Фибоначи е тясно свързана със златното сечение, тъй като с увеличаването на числата на Фибоначи съотношението на произволни две последователни числа на Фибоначи се приближава все повече и повече до златното сечение.

MasterClass

Предложено за вас

Онлайн класове, преподавани от най-големите умове в света. Разширете знанията си в тези категории.

Преподава научно мислене и комуникация

Преподава на консервация

Преподава космически изследвания

Преподава науката за по-добър сън

как да си направите име на драг кралица

Последователност на Фибоначи в природата

Мислете като професионалист

Известният астрофизик Нийл деГрас Тайсън ви учи как да намирате обективни истини и споделя своите инструменти за предаване на това, което откривате.

Има значителна дезинформация за това къде можете да намерите последователността на Фибоначи и златното сечение в реалния свят; въпреки това, което може да прочетете, златното сечение не е било използвано за изграждане на пирамидите в Гиза, а морската обвивка на наутилус не отглежда нови клетки въз основа на последователността на Фибоначи.

Но тези математически свойства зад последователността на Фибоначи и златното сечение се появяват в природата по редица начини. Например можете да намерите златното съотношение в спираловидното разположение на листата (наречено филотаксис) на някои растения или в златния спирален модел на шишарки, карфиол, ананаси и разположението на семената в слънчогледите. Освен това броят на венчелистчетата на цвете обикновено е число на Фибоначи.

Освен това родословното дърво на безпилотния пчел следва последователността на Фибоначи. Това е така, защото мъжкият дрон се излюпва от неоплодено яйце и има само един родител, докато женските пчели имат двама родители. Това води до родословно дърво на дрона, състоящо се от един родител, двама баби и дядовци, трима прабаби и дядовци, петима прабаба и дядо и така нататък в цялата последователност на Фибоначи.

Научете повече

Вземи Годишно членство в MasterClass за ексклузивен достъп до видео уроци, преподавани от светила на бизнеса и науката, включително Нийл деГрас Тайсън, Крис Хадфийлд, Джейн Гудол и др.